Comencemos sabiendo que es el Diseño Web

El diseño web es una actividad que consiste en la planificación, diseño, implementación y mantenimiento de sitios web. No es simplemente la implementación del diseño convencional, ya que se abarcan diferentes aspectos como el diseño gráfico web, diseño de interfaz y la experiencia de usuario, además de la navegabilidad, interactividad, usabilidad, arquitectura de la información e interacción de medios, entre los que podemos mencionar audio, texto, imagen, enlaces, video y la optimización de motores de búsqueda. A menudo muchas personas trabajan en equipos que cubren los diferentes aspectos del proceso de diseño, aunque existen algunos diseñadores independientes que trabajan solos.

La unión de un buen diseño con una jerarquía bien elaborada de contenidos, aumenta la eficiencia de la web como canal de comunicación e intercambio de datos, que brinda posibilidades como el contacto directo entre el productor y el consumidor de contenidos.

El diseño web ha visto amplia aplicación en los sectores comerciales de Internet, especialmente en la World Wide Web. A menudo la web se utiliza como medio de expresión plástica en sí. Artistas y creadores hacen de las páginas en Internet un medio más para ofrecer sus producciones y utilizarlas como un canal más de difusión de su obra.

De Wikipedia

¿Qué es un diseñador web y cuáles son sus funciones?

El diseño web implica muchas habilidades y conocimientos, las cuales dependen del diseñador.

Los web developer y los web designers tienden a confundirse y pasar como uno solo, pero ambos perfiles cumplen diferentes funciones y son importantes para poder hacer que tu web funcione lo mejor posible destacándose del resto.

Un poco más a detalle las diferencias entre un web developer y un web designer.

Web developer
Un web developer —o desarrollador web— es el encargado de programar funciones y generar aplicaciones en línea para el sitio web.

Se centra en las características, los sistemas de gestión de contenidos y está más familiarizado con el lenguaje de programación que se pueda necesitar.

Web designer
El web designer —o diseñador web—  se encarga de la apariencia del sitio y entre sus funciones está determinar el diseño, la gama de colores y estilo del sitio.

Tanto el diseño web como el desarrollo web son importantes y necesarios para que tu sitio sea efectivo y destaque del resto de las páginas en internet.
La creación y diseño de sitios web es un proceso al que se le debe dedicar tiempo y planeación, por lo que puede participar más de una persona.

Lo anterior va a depender de si el proyecto tiene ciertos requerimientos que hacen necesaria la presencia de varias personas para desarrollar una parte del proyecto.

Sin embargo, hoy en día puedes encontrar diseñadores que se especializan en hacer todo este proceso. Ellos son los encargados de hacer que las ideas se materialicen.

El principal papel de un diseñador web es encontrar el equilibrio perfecto entre la estética y la funcionalidad del sitio que está creando.

Algunas de las habilidades y tareas que realizan los diseñadores web son:

Crear el diseño en función del branding de la empresa, y tenerlo muy presente al momento de llevarlo a cabo.
Resolver problemas relacionados con la experiencia del usuario como los botones.
Generar los elementos gráficos que la web requiera, como el favicon y en algunos casos las ilustraciones o los motion graphics (aunque estos los pueden crear otros diseñadores o ilustradores. En este caso el web designer tiene que coordinar que el tamaño o peso de las imágenes sean las adecuadas).
Utiliza y está familiarizado con el lenguaje HTML, CSS y JavaScript.